量子纠缠：从量子物质态到深度学习

与上述例子类似，量子物理的研究中也常常使用到函数近似。比如，一个量子自旋体系的波函数无非是一个关于自旋构型的多元函数。和深度学习中的目标一样，我们也希望使用尽量简单的参数化方式和尽量少的参数描述尽可能复杂的波函数。总结一句话，那就是“天网恢恢，疏而不漏”。图1(c)显示量子多体物理研究中常用的一种参数化波函数的方法：矩阵乘积态(Matrix Product State)。它的基本组成单元是红色方块所示的三阶张量。竖线代表物理指标，而方块之间的横线则称为“虚拟键”(Vitual Bond)。横线之间的连接代表对于虚拟键指标的求和。不难猜测，随着虚拟键维数(Vitual Bond Dimension)的增大，矩阵乘积态可以表达关于物理指标愈加复杂的函数。除了增加虚拟键维数，另一种增加矩阵乘积态表达能力的方法是将图1(c)中所示的方块推广成为更高阶的张量，也就是增加虚拟键的个数。将所有虚拟键连接起来，求和完所有的内部张量指标，就得到了前文提到的张量网络态。和深度学习中种类繁多的人工神经网络结构一样，物理学家也发明了很多不同结构的张量网络态以及相对应的算法。然而，和深度学习不同的是，物理学家们对于张量网络的表达能力有着更为定量化的理解：关键在于量子纠缠！切割一个张量网络态所断开的虚拟键的个数和维数与这个网络能够描述的纠缠熵直接相关。而另一方面，虽然量子多体问题的希尔伯特空间非常大，但幸运的是大多数人们感兴趣的量子态只是其中的一个很小的子集。这些态的量子纠缠熵并不是任意的，而是遵循前文提到的面积定律。张量网络态恰好抓住了物理问题的这个重要特性，因而获得成功。在实际研究中，物理学家们通常针对具体物理问题的纠缠大小和模式来灵活选择设计张量网络态结构。在这个意义下，量子纠缠其实就是指引物理学家们应用张量网络研究量子多体问题的“先验知识”。

3深度学习助力量子物理

从函数近似的观点看，深度学习和量子物理之间的联系非常显然。即便在上一次连结主义学派研究的低潮期，也曾有过一些使用人工神经网络作为量子体系的变分波函数的尝试。最近，Carleo 和Troyer尝试使用限制玻尔兹曼机作为量子自旋体系的多体变分波函数，得到了非常精确的基态能量和非平衡动力学的结果。值得注意的是，传统的限制玻尔兹曼机只能表达取值为正的概率分布函数，为了让它们适合于描述带有相位信息的波函数，Carleo 等将限制玻尔兹曼机的参数推广到复数域。另外，实际计算中Carleo 等采用的函数形式其实是多个共享权重的限制玻尔兹曼机的乘积。这样的结构等价于一个单隐层的卷积神经网络，从而在结构上保证了物理体系的空间平移不变性。Carleo 和Troyer 的结果激起了人们极大的兴趣，沿着这个思路往下：类似的人工神经网络还能够描述其他丰富多彩的物质态吗？

（编辑：西安站长网）

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